数学基础系列(四)----拉格朗日乘子法、行列式、矩阵基础

一、拉格朗日乘子法

1、通俗解释

给个函数：$Z=f(x,y)$如何求出它的极值点呢？有了前面的知识，简单来说直接求它的偏导不就OK了吗？

那现在假如说对这个函数加上一个约束条件呢？也就说现在假如有这样一个约束条件$2xy+2yz+2zx=S$，那该怎么样求出函数$Z(x,y,z)=xyz$的最大值呢？

在这样的约束条件下，到底什么点是我们想要的？

假如说我们现在有这样一座山峰，这座山峰的高度是$f(x,y)$，其中有一条曲线是$g(x,y) =C$。曲线镶嵌在山上，我们该如何找到曲线的最低点呢？

为了找到曲线上的最低点，首先就从最低的等高线（0那条）开始往上数。数到第三条，等高线终于和曲线有交点了（如上图所示）。因为比这条等高线低的地方都不在约束范围内，所以这肯定是这条约束曲线的最低点了。

而且约束曲线在这里不可能和等高线相交，一定是相切。因为如果是相交的话，如下图所示，那么曲线一定会有一部分在B区域，但是B区域比等高线低，这是不可能的。

两条曲线相切，意味着它们在这点的法线平行，也就是法向量只差一个任意的常数乘子(取为$-\lambda $)：$\bigtriangledown f(x,y)=-\lambda \bigtriangledown g(x,y)$，其中$\bigtriangledown$表示偏导。

我们可以把上式的右边移到左边，并把常数移进微分算子然后得到：$\bigtriangledown f(x,y)+\lambda \bigtriangledown g(x,y)=0$。

把这个式子重新解释一下，这个就是$f(x,y)+\lambda g(x,y)$无约束情况下极值点的必要条件。简单来说，就是把带有约束条件下的求极值转化为无约束条件下的求极值。

2、使用方法

然后我们看下拉格朗日乘子法具体的使用方法。求解函数：$z=f(x,y)$在条件$\varphi (x,y)=0$条件下的极值。

既然求极值，那就是令其偏导等于0。

构造函数$F(x,y)=f(x,y)+\lambda \varphi(x,y)$，其中$\lambda$为拉格朗日乘数。如此，我们就可以得到下面的这个表达式

这样通过上面的方程组求解出来的（X，Y）就是极值点坐标。

拉格朗日乘子法一般用于自变量多于两个的条件下。

求解函数：$u=f(x,y,z,t) $在条件$\varphi (x,y,z,t)=0,\psi (x,y,z,t)=0$下的极值。

同理构造函数：$F(x,y,z,t)=f(x,y,z,t) +\lambda _{1}\varphi (x,y,z,t)+\lambda _{2}\psi (x,y,z,t)$。其中$\lambda _{1},\lambda _{2}$均为拉格朗日乘数，同样通过偏导为0以及约束条件求解极值点坐标。

3、例题

求函数$u=x^{3}y^{2}z$在约束条件x+y+z=12下的最大值。

同理构造函数：$F(x,y,z)=x^{3}y^{2}z+\lambda (x+y+z-12)$。然后分别求偏导，得到如下表达式。

$\left\{\begin{matrix}
F_{x}\’=3x^{2}y^{2}z+\lambda =0\\
F_{y}\’=2x^{3}yz+\lambda =0\\
F_{z}\’=x^{3}y^{2}+\lambda =0\\
x+y+z=12
\end{matrix}\right.$

求解上面的方程组可以得到唯一驻点（6，4，2），这样的话最大值$u_{max}=6^{3}\cdot 4^{2}\cdot 2=6912$。

二、行列式

1、二阶行列式

首先来看看二元线性方程组的求解：$\left\{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2}\end{matrix}\right.$

对上面这个方程组求解可得：$\begin{matrix}(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_{1}=b_{1}a_{22}-a_{12}b_{2}\\ (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_{2}=a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}\end{matrix}$。

当$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0$时方程组有唯一解：$x_{1}=\frac{b_{1}a_{22}-a_{12}b_{2}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}},x_{2}=\frac{a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$。

根据上面的解看起来好像有些规律呀