曲率计算公式推导

fujj 2021-12-23 原文

曲线上某点曲率的计算公式及推导

曲率半径公式推导

曲率(k):描述曲线下降长度随角度变化，${\rm{k}} = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0} \left| {\frac{{\Delta \alpha }}{{\Delta s}}} \right|$

$R = \frac{1}{k} = \frac{{{{\left[ {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \right]}^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}}} = \frac{{{{\left[ {1 + {{\left( {f\’} \right)}^2}} \right]}^{\frac{3}{2}}}}}{{f\’\’}}$ （1）

曲率半径计算公式

推导过程

曲线上某点的曲率半径是该点的密切圆的半径，在$\mathop {\lim }\limits_{\Delta {\rm{s}} \to 0} \frac{{\Delta \alpha }}{{\Delta s}} = \frac{{d\alpha }}{{ds}}$存在的条件下，${\rm{k}} = \left| {\frac{{d\alpha }}{{ds}}} \right|$。
设曲线的方程为y=f(x)，且f(x)具有二阶导数。因为tanα = y’(设-$\pi $/2<α<$\pi $/2)，所以

a=arctany’

$\frac{{{\rm{d}}\alpha }}{{dx}} = {\left( {{\rm{arctany\’}}} \right)^\prime }$

\[d\alpha = {\left( {\arctan y\’} \right)^\prime }dx = \frac{{y\’\’}}{{1 + {{y\’}^2}}}dx\]

或者

sec²αdα=y\’\’dx，

${\rm{d}}\alpha = \frac{{y\’\’}}{{se{c^2}\alpha }}dx = \frac{{y\’\’}}{{1 + ta{n^2}\alpha }}dx = \frac{{y\’\’}}{{1 + {y^{\’2}}}}dx$

3. 因为 ${\rm{ds}} = \sqrt {1 + {y^{\’2}}} {\rm{dx}}$(密切圆面积求导)，从而得到曲率公式${\rm{k}} = \frac{{f\’\’}}{{{{\left[ {1 + {{\left( {f\’} \right)}^2}} \right]}^{\frac{3}{2}}}}}$。

曲率求解图