高数——微分方程的通解和特解

Hqx-curiosity 2021-12-28 原文

链接：https://www.zhihu.com/question/361526180/answer/962015370

微分方程中通解与特解的定义：

y\’\’+py\’+qy=0，等式右边为零，为二阶常系数齐次线性方程；

y\’\’+py\’+qy=f（x），等式右边为一个函数式，为二阶常系数非齐次线性方程。

可见，后一个方程可以看为前一个方程添加了一个约束条件。

对于第一个微分方程，目标为求出y的表达式。由此得到的解，称为【通解】，通解代表着这是解的集合。

因为M个变量，需要M个个约束条件才能全部解出。由此，在变量相同的条件下，多一个约束条件f（y），就可以多确定一个解，此解就称为【特解】。

求微分方程通解的方法：

方程
$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\ \ \ \ \ \ \ \ (1) \$ 叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数 $y$ 及其导数是一次方程. 如果 $Q(x)\equiv0$ ，则方程（1）称为齐次的；如果 $Q(x)\not\equiv0$ ，则方程（1）称为非齐次的.

为了求出非齐次线性方程（1）的解，我们先把 $Q(x)$ 换成零而写成方程

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0\ \ \ \ \ \ \ \ (2). \$

方程（2）叫做对应于非齐次线性方程（1）的齐次线性方程.

齐次方程（2）分离变量后，得

$\frac{dy}{y}=-P(x)dx, \$

两端积分，得

$\ln|y|=-\int P(x)dx+C_1, \$

或

$y=Ce^{-\int P(x)dx},~~\text{其中}C=\pm e^{C_1}. \$

这便是对应的齐次线性方程（2）的通解.

常数变易法：把（2）的通解中的 $C$ 换成 $x$ 的未知函数 $u(x)$ ，作变换

$y=ue^{-\int P(x)dx}\ \ \ \ \ \ \ \ (3). \$

于是

$\frac{dy}{dx}=u\'e^{-\int P(x)dx}-uP(x)e^{-\int P(x)dx}\ \ \ \ \ \ \ \ (4). \$

将（3）和（4）代入方程（1），得

$u\'e^{-\int P(x)dx}-uP(x)e^{-\int P(x)dx}+P(x)ue^{-\int P(x)dx}=Q(x), \$

等号左边中间两项抵消掉，得

$u\'e^{-\int P(x)dx}=Q(x),u\'=Q(x)e^{\int P(x)dx}. \$

两端积分，得

$u=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C. \$

把上式代入（3），便得非齐次线性方程（1）的通解

$y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)\ \ \ \ \ \ \ \ (5). \$

将（5）式改写成两项之和

$y=Ce^{-\int P(x)dx}+e^{-\int P(x)dx}\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx. \$

第一项是对应的齐次线性方程（2）的通解，
第二项是非齐次线性方程（1）的一个特解（在通解（5）中取 $C=0$ 便得到这个特解）.

一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和.

求方程

$\frac{dy}{dx}-\frac{2y}{x+1}=(x+1)^{\frac{5}{2}} \$

的通解.

先用分离变量法求对应的齐次方程

$\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x+1}y=0, \$

的通解.

$\frac{dy}{y}=\frac{2dx}{x+1}, \$

两边求不定积分，得

$\ln|y|=2\ln|x+1|+\ln|C_1|, \$

也即

$y=C_1(x+1)^2. \$

用常数变易法，把 $C_1$ 换成 $u$ ，即令

$y=u(x+1)^2\ \ \ \ \ \ \ \ (6), \$

则

$\frac{dy}{dx}=u\'(x+1)^2+2u(x+1). \$

代入所给非齐次方程，得

$u\'=(x+1)^{\frac{1}{2}}. \$

两端积分，得

$u=\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C. \$

再把上式代入(6)式，即得所求方程的通解为

$y=(x+1)^2[\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C]. \$

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