傅立叶级数:

任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示

\[f(t) = a_{0} + \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_{n}cos(nw_{0}t)+b_{n}sin(nw_{0}t)
\]

傅立叶变换:

傅里叶变换可以看作傅里叶级数的极限形式,同时也适用于非周期性现象的分析。

⚠️对于定义域为负无穷到正无穷的非周期函数，其经过傅立叶变换后频谱是连续谱

即一个复杂的非周期函数可以表示成不同频率的余弦和正弦之和

非周期函数也可以用正弦和余弦乘以加权函数的积分表示

利用傅立叶变换可以得到图像的频谱

正变换:

一个一维函数的傅立叶变换表示为\(F(u)\)，其中\(u\)表示频率

\[F(u) = \displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}f(x)e^{-i2 \pi ux}dx
\]

这里的\(e^{-i2 \pi ux}\)为欧拉公式运用的结果

欧拉公式:\(e^{i\theta} = cos\theta + i·sin\theta\)

反变换:

\[f(x) = \displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}F(u)e^{j2 \pi ux}du
\]

其中\(F(u)\)可以表示成\(F(u) = R(u)+iI(u)\)或\(F(u) = |F(u)|e^{j\theta(u)}\)

\(R(u)\)即为\(Real[F(u)]\)取\(F(u)\)的实部

\(I(u)\)即为\(Imaginary Part[F(u)]\)取\(F(u)\)的虚部

\(\theta(u)\)为相位角\(\theta(u) = arctan[\frac{I(u)}{R(u)}]\)

\(|F(u)|\)为幅度谱\(|F(u)| = \sqrt{R^{2}(u)+I^{2}(u)}\)

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