多元函数的二阶导数对应的矩阵
设 $f:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}^m$ 是从 $n$ 维线性空间 $\mathbf{R}^n$ 到 $m$ 维线性空间 $\mathbf{R}^m$ 的映射.如果 $f$在 $\mathbf{R}^n$ 中的 某点可微,定义为存在线性映 射 $T:\mathbf{R}^n\to \mathbf{R}^m$,使得 \begin{equation} f(x)=f(x_0)+T(x-x_0)+o(||x-x_0||). \end{equation} 其中 $||x-x_{0}||$ 是 $\mathbf{R}^{n}$ 中的点 $x$ 和 $x_0$ 的欧氏距离. $o||x-x_{0}||$ 是关于 $||x-x_{0}||$ 的高阶无穷小量.线性映射 $T$ 称为 $f$ 在 $x_{0}$ 处的导数,记为$f\'(x_0)$.这是一阶导数的定义.我们还知道,一阶导数的雅可比矩阵为 $$ \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial e_1}(x_0) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial e_n}(x_0) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial e_1}(x_0) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial e_n}(x_0) \end{pmatrix}. $$ 现在我们来探讨二阶导数的定义,以及二阶导数对应的矩阵.我们知道,二阶导数可以定义为一阶导数的导数(如果一阶导数的导数存在的话).我们说 $f$ 在 $x_0$ 处二阶可导,如果 \begin{equation} f\'(x)=f\'(x_0)+f\’\'(x_0)(x-x_0)+o(||x-x_0||). \end{equation} 把 $f\’\'(x_0)$ 称为 $f$ 在 $x_0$ 点的二阶导数.上式化为 $$ \frac{f\'(x)-f\'(x_0)}{||x-x_0||}=f\’\'(x_0)e+\frac{o(||x-x_0||)}{||x-x_0||}. $$ 当 $x$ 沿着 $\mathbf{R}^n$ 的一组标准正交基中的第 $i$ 个坐 标 $e_{i}$ 趋于 $x_0$,那么上式会变成 \begin{equation} \frac{\partial^{2} f}{\partial e_i^{2}}(x_0)=f\’\'(x_0)e_i. \end{equation} 于是 $f\’\'(x_0)$ 的矩阵为 $$ \begin{pmatrix} \frac{\partial^2f}{\partial e_1^2}&\frac{\partial^2f}{\partial e_2^2}&\cdots&\frac{\partial^2f}{\partial e_n^2} \end{pmatrix}. $$即为$$
\begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f_1}{\partial e^2_1}(x_0) & \cdots &
\frac{\partial^2 f_1}{\partial e^2_n}(x_0) \\ \vdots & \ddots & \vdots
\\ \frac{\partial^2 f_m}{\partial e^2_1}(x_0) & \cdots & \frac{\partial^2 f_m}{\partial e^2_n}(x_0) \end{pmatrix}.
$$
值得指出的是,上面的是错误的.错在红色的部分.