数学理论基础

理论基础

下面该栏目列出一些可能会用到的已经证实的理论! 大多数的理论均来自^[1].

对于 $\forall x,y,z \in X$, 若存在映射

\[\begin{aligned}
d:\; &X \times X \rightarrow \mathbb{R}^1\\
&(x,y) \mapsto d(x,y)
\end{aligned}
\]

定义如下几个性质:

非负性: $d(x,y)\geq 0, d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$
对称性: $d(x,y) = d(y,x)$
三角不等式: $d(x,y)\leq d(x,z) + d(z,y)$

1 距离空间

定义 1.1 设 $X$ 是非空集合, 对于 $\forall x,y,z \in X$, 若存在映射

\[\begin{aligned}
d:\; &X \times X \rightarrow \mathbb{R}^1\\
&(x,y) \mapsto d(x,y)
\end{aligned}
\]

同时满足非负性, 对称性, 三角不等式, 则称 $d(x,y)$ 是元素 $x$ 与 $y$ 之间的距离. 在集 $X$ 中定义了距离 $d$ 之后, 就称 $X$ 为距离空间, 记作 $(X,d)$. $(X,d)$ 中的元素又称为点.

设 $A$ 是距离空间 $(X,d)$ 的子集, 则 $A$ 按 $X$ 中定义的距离 $d$ 也形成一个距离空间 $(A,d)$, 称为 $(X,d)$ 的子空间, 有时我们也简称 $A$ 是 $X$ 的子空间.

1.1 由距离导出的拓扑概念

设 $X = (X,d)$ 为距离空间, $x_0 \in X, r > 0,$ 则

\[B(x_0,r) = \{x\in X: d(x,x_0) < r\}
\]

称为以 $x_0$ 为中心, $r$ 为半径的 $r$ 球形邻域; 而

\[\overline{B}{(x_0,r)} = \{x\in X: d(x,x_0) \leq r\}
\]

称为以 $x_0$ 为中心, $r$ 为半径的 $r$ 闭球.

$S(x_0,r)=\{x\in X: d(x,x_0) = r\}$ 称为球面. 设 $A,B \subset X,$ 则 $d(x,B) = \inf\; \{d(x,y):y \in B\}$ 称为 $x$ 与集 $B$ 之间的距离; $d(A,B) = \inf\; \{d(x,y):x, \in A,y \in B\}$ 称为集 $A$ 与 $B$ 之间的距离.

$\operatorname{diam} A = \sup \{d(x,y):x,y\in A\}$ 称为集 $A$ 的直径. 设 $A\subset X$, 若存在球 $B(x_0,r) \supset A,$ 则称 $A$ 为 $X$ 中的有界集.

定义 1.2 设 $x_n, x_0 \in X,$ 若

\[\lim_{n\rightarrow \infty} d(x_n,x_0) = 0
\]

即 $\forall ε > 0, ∃ N,$ 使得 $∀ n \geq N,$ 有 $d(x_n,x_0) < ε$, 则称点列 $\{x_n\}$ 收敛于 $x_0$, 记作 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = x_0$ 或 $x_n \rightarrow x_0\,(n\rightarrow \infty)$.

1.2 完备性

定义 1.3 设 $\{x_k\}$ 是距离空间 $(X,d)$ 中的点列, 若 $∀ε>0,∃N,$ 使得 $∀m,n \in N,$ 有 $d(x_m,x_n) < ε,$ 则称 $\{x_k\}$ 是 $(X,d)$ 中的柯西点列或基本点列.

定义 1.4 设 $(X,d)$ 为距离空间, $E ⊂ X,$ 若 $E$ 中每个柯西点列都收敛于 $E$ 中的点, 则称 $E$ 为完备集, 特别, 当 $E=X$ 时, 称 $(X,d)$ 为完备距离空间.

由实数的完备性, 我们可得 $\mathbb{R}^n$ 是完备的.

2 赋范线性空间

在高等代数课程中, 已经熟悉在集合 $X$ 中引入线性运算 ($X$ 中元素的加法和数乘运算) 就形成了线性空间. 设 $x_1. x_2, \cdots,x_n$ 是数域 $K$ 上线性空间的一组元素, 若存在不全为 $0$ 的数 $\alpha _k \in K$, 使得 $\displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha _kx_k = 0$, 则称 $x_1. x_2, \cdots,x_n$ 是线性相关的, 否则, 称 $x_1. x_2, \cdots,x_n$ 线性无关, 即若 $\displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha _kx_k = 0$, 则 $\alpha _k=0$. 设 $X$ 的子集 $A$ 中任何有限个向量都线性无关, 则称 $A$ 为线性无关集; 若 $A$ 对 $X$ 中的线性运算是封闭的, 则称 $A$ 为 $X$ 的线性子空间, 简称子空间.
称

\[\operatorname{span}A = \{y = \displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha _kx_k:x_k\in A,\alpha _k\in K, ∀n\}
\]

为由 $A$ 张成的子空间, 或称 $A$ 的线性包. 设 $A$ 是 $X$ 的线性无关子集, 若 $\operatorname{span}A=X$, 即对 $∀x\in X,∃x_k \in A, \alpha _k\in K,$ 使得 $x = \displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha _kx_k$, 则称 $A$ 为 $X$ 的一组线性基 (或 Hamel 基), 称 $A$ 的基数为 $X$ 的维数, 记作 $\operatorname{dim} A$.

设 $X, Y$ 为数域 $K$ 上的线性空间. 若 $T: X \rightarrow Y$ 是满单射且为线性映射, 即: 对 $\forall x,y \in X, \alpha , \beta \in K$, 有

\[T(\alpha x + \beta y) = \alpha Tx + \beta Ty
\]

则称 $X$ 与 $Y$ 线性同构或代数同构. $T$ 称为同构映射, 数域 $K$ 上两个有限维线性空间 $X$ 与 $Y$ 同构的充要条件是 $X$ 与 $Y$ 的维数相同.

为了在线性空间中引入拓扑概念, 下面我们引入范数的定义, 通过范数来定义距离.

定义 2.1 设 $X$ 是数域 $K$ (实数域 $\mathbb{R}$ 或复数域 $\mathbb{C}$) 上的线性空间, 若存在映射

\[\begin{aligned}
T:\;&X\rightarrow \mathbb{R}^1\\
&x\mapsto ||x||
\end{aligned}
\]

满足:

$||x|| \geq 0,$ 且 $||x|| = 0 \Leftrightarrow x=0$
$||\alpha x|| = |\alpha |||x||, \alpha \in K$ (绝对齐性)
$||x+y|| \leq ||x|| + ||y||, x,y\in X$ (三角不等式)

则称 $||x||$ 是元素 $x$ 的范数, 定义了范数 $||⋅||$ 的线性空间 $X$ 称为赋范线性空间, 记作 $(X,||\cdot||)$.

若对 $∀ x,y\in X,$ 令

\[d(x,y) = ||x-y||
\]

则易证 $d$ 是 $X$ 上的距离空间, 称 $d$ 为由范数 $||⋅||$ 导出的距离.

定义 2.2 设 $(X,||\cdot||)$ 是赋范线性空间, $\{x_n\}$ 是 $X$ 中的点列, $x \in X$, 若

\[d(x_n,x) = ||x_n-x||\rightarrow 0(n\rightarrow \infty)
\]

则称 $\{x_n\}$ 依范数收敛于 $x$ (或 $\{x_n\}$ 强收敛于 $x$), 记作 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = x$ 或 $x_n \rightarrow x\,(n\rightarrow \infty)$.

完备的赋范线性空间称为 Banach 空间, 简称为 (B) 空间. 用范数刻画有界集: 若 $A⊂ X, \displaystyle\sup_{x\in A} ||x||<\infty$, 则称 $X$ 为有界集.

定义 2.3 设 $\{e_n\}$ 是赋范线性空间 $(X,||\cdot||)$ 中的可数集, 若对 $∀ x \in X,$ 在数域 $K$ 中存在唯一确定的数列 $\{c_k\}$, 使得

\[||x – \displaystyle\sum_{k=1}^n c_ke_k|| \rightarrow 0\;(n\rightarrow \infty)
\]

则称 $\{e_n\}$ 为 $X$ 的 Schauder 基, 简称为 (S) 基, 记作

\[x = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} c_ke_k
\]

上式称为 $x$ 关于基 $\{e_n\}$ 的展开式.

定义 2.4 设 $X$ 是线性空间 $X$ 中的子集, $x,y\in X$, 集合 $\{λx + (1-λ)y:0\leq λ \leq 1\}$ 称为联结 $x,y$ 两点的线段, 记作 $[x,y]$. 若对 $\forall x,y\in X, [x,y] \subset A,$ 则称 $A$ 为 $X$ 中的凸集, 而集 $\{x=\displaystyle\sum_{k=1}^n λ_kx_k: λ_k \geq 0, \displaystyle\sum_{k=1}^n λ_k = 1\}$ 称为 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的凸组合. 我们很容易知道 $X$ 的线性子空间是凸集.

赋范线性空间 $(X,||\cdot||)$ 中的单位球 $B(0,1)=\{x\in X: ||x||\leq 1\}$ 是 $X$ 中的凸集.

3 内积空间

定义 3.1 设 $X$ 是数域 $K$ (实数域 $\mathbb{R}$ 或复数域 $\mathbb{C}$) 上的线性空间, 若存在映射

\[\begin{aligned}
T:\;&X \times X \rightarrow K\\
&(x,y) \mapsto (x,y)
\end{aligned}
\]

满足:

正定性: $(x,x) \geq 0, (x,x)=0 ⇔ x=0$
对第一变元线性: $(\alpha x+βy,z) = \alpha (x,z) + β(y,z); x,y,z\in X, \alpha ,β \in K$
共轭对称性: $(x,y) = \overline{(y,x)}$

则称 $(x,y)$ 为 $x,y$ 的内积, 定义了内积的线性空间 $X$ 称为内积空间.

定义 3.2 设 $X$ 为内积空间, $x,y\in X,$ 若 $(x,y)=0$, 则称 $x$ 与 $y$ 正交, 记作 $x \bot y$; 设 $A, B ⊂ X,$ 若对 $∀y \in A, (x,y)=0,$ 则称 $x$ 与 $A$ 正交, 记作 $x\bot A$; 若对 $∀x \in A, y \in B, (x,y)=0,$ 则称 $A$ 与 $B$ 正交, 记作 $A \bot B$, 集 $A^{\bot} = \{x\in X: x\bot A\}$ 称为 $A$ 的正交补, $A^{\bot\bot} =(A^{\bot})^{\bot}$.

定理 1 设 $X$ 是数域 $K$ 上的内积空间, 则对 $∀x,y \in X$, 成立 Schwarz 不等式:

$
|(x,y)|^2 \leq (x,x)(y,y)
$

仅当 $x,y$ 线性相关时等号成立.

定理 2 设在内积空间 $X$ 中, 令

\[||x|| = \sqrt{(x,x)}
\]

则 $||\cdot||$ 是 $X$ 上的范数, 从而 $(X, ||\cdot||)$ 为赋范线性空间.
完备的赋范线性空间称为 Hilbert 空间.

定理 3 设 $X$ 为内积空间, 则内积 $(x,y)$ 是 $x,y$ 的连续函数, 即若 $x_n \rightarrow x, y_n \rightarrow y$, 则 $(x_n,y_n) \rightarrow (x,y)(n\rightarrow \infty)$.

定理 4 赋范线性空间 $(X,||\cdot||)$ 是内积空间的充要条件是其范数要满足平行四边形法则:

\[||x+y||^2 + ||x-y||^2 = 2(||x||^2 + ||y||^2)
\]

定理 5 设 $X$ 为内积空间, $A,B$ 为 $X$ 中的非空子集, 则

若 $x\bot y$, 则 $||x+y||^2 = ||x||^2 = ||y||^2$ (勾股定理)
$A^{\bot}$ 是 $X$ 的闭线性子空间
$A⊂B⇒A^{\bot} ⊃ B^{\bot}$
$A ∩ A^{\bot} = \{0\}$ 或 $∅$
$(\overline{A})^{\bot} = A^{\bot}; (\overline{\operatorname{span}A})^{\bot} = A^{\bot}$
$X^{\bot} = \{0\}, \{0\}^{\bot} = X$

3.1 最佳逼近问题

设 $X=(X,d)$ 为距离空间, $A$ 为 $X$ 的非空子集, 则 $x$ 到 $A$ 的距离为

\[d(x, A) = \inf \{d(x,y):y\in A\}
\]

对于 $x \in X$, 若存在 $y_0\in A$, 使得

\[d(x,y_0) = d(x,A)
\]

则称 $y_0$ 是 $x$ 在集 $A$ 中的最佳逼近元.

定理 6 (变分引理) 设 $X$ 为内积空间, $A$ 是 $X$ 中非空完备凸集, 则对 $∀ x \in X$, 存在唯一的最佳逼近元 $y_0\in A$, 成立

\[||x-y_0|| = \inf \{ ||x-y||: y\in A\}.
\]

若 $\{y_n\}⊂A$, 使得

\[\displaystyle\lim_{n→∞} ||x-y_n|| = \inf \{ ||x-y||: y\in A\}
\]

成立, 则称 $\{y_n\}$ 为极小化序列.

定理 7 (正交分解 或 投影定理) 设 $A$ 是内积空间 $X$ 的完备子空间, 则对任意 $x\in X$, 存在唯一的正交分解:

\[x = y_0 + z, y_0\in A, z\in A^{\bot}
\]

设 $X$ 为线性空间, $A,B$ 为 $X$ 的子空间, 则 $A$ 与 $B$ 的直和定义为

\[A + B=\{x = y+z:y\in A z\in B\}
\]

设 $X$ 为内积空间, 当 $A\bot B$ 时, 称直和为正交和, 记作 $A\oplus B$, 即

\[A \oplus B=\{x = y+z:y\in A z\in B, \text{且 }(y,z)=0 \}
\]

定义 3.3 设 $A$ 是内积空间 $X$ 的子空间, $x\in X$, 若存在 $y\in A, z\in A^{\bot}$, 使得 $x=y+z$, 则称 $y$ 是 $x$ 在 $A$ 上的正交投影, 简称投影, 记作 $y=P_Ax$, 并称 $P_A: X→ A$ 为投影算子. 定理 7 表明当 $A$ 是内积空间 $X$ 的完备子空间时, $X$ 可以分解为 $X = A \oplus A^{\bot}$.

4 嵌入

定义 4.1 设 $(X, d_1)$ 和 $(Y, d_2)$ 是距离空间, 若存在双射 $T: X \rightarrow Y$, 使得

\[d_2(Tx_1,Tx_2) = d_1(x_1,x_2), \;\;\; \forall x_1,x_2 \in X
\]

则称 $(X, d_1)$ 与 $(Y, d_2)$ (通过 $T$) 等距同构, $T$ 称为等距同构映射. 若 $(X, d_1)$ 与 $(Y, d_2)$ 的某个子空间 $(Y_0,d_2)$ 等距同构, 则称 $(X,d_1)$ 可嵌入 $(Y,d_2)$. 在等距同构的意义下, 可将 $(X,d_1)$ 看作 $(Y,d_2)$ 的子空间, 并简记为

\[(X, d_1) \subset (Y, d_2)
\]

注意 : 从集合角度来看, $X$ 不一定是 $Y$ 的子集.

定义 4.2 设 $X$ 与 $Y$ 是赋范线性空间, 若算子 $T: X \rightarrow Y$ 满足 $||Tx|| = ||x||, \forall x \in X$, 则称 $T$ 是 保范算子. 若线性算子 $T: X \rightarrow Y$ 是双射, 则称 $T$ 是 等距同构映射, 简称 同构映射. 这时称 $X$ 与 $Y$ 等距同构, 简称同构, 记作 $X=Y$.
若存在 $A \subset Y$, 使得 $A$ 与 $X$ 同构, 则称 $X$ 可嵌入到 $Y$ 中.

若一个抽象的赋范线性空间 $X$ 与一个具体的赋范线性空间 $Y$ 同构, 则称 $Y$ 是 $X$ 的一个表示.
注意 : 若将定义 2中的线性改为共轭线性, 即

\[T(\alpha x + \beta y) = \overline{\alpha} Tx + \overline{\beta} Ty, \forall \alpha, \beta \in K
\]

则称 $X$ 与 $Y$ 共轭同构, 仍记作 $X=Y$.

定义 4.3 设 $X$ 与 $Y$ 是数域 $K$ 上的赋范线性空间, $D$ 是 $X$ 的线性子空间. 若映射 $T: D \rightarrow Y$ 满足

可加性: $T(x+y)=Tx+Ty,\;\;\; x,y \in D$
齐性: $T(\alpha x) = \alpha Tx,\;\;\; x \in D, \alpha \in K$

则称 $T$ 是 $D$ 到 $Y$ 的线性算子; 称 $D(T) = D$ 为 $T$ 的定义域; 称 $R(T) = \{Tx|x\in D \}$ 为 $T$ 的值域; 并称

\[N(T)(=\ker(T)) = \{x \in D | Tx=0\} = T^{-1}(0)
\]

为 $T$ 的零空间 (或核).

有界线性算子范数 设 $X$ 与 $Y$ 是赋范线性空间, 若 $T:X \rightarrow Y$ 为 有界线性算子, 则称

\[||T|| = \sup\{||Tx||/||x||: x \in X, x \neq 0 \}
\]

为 有界线性算子范数.

有界线性算子空间 设 $X$ 与 $Y$ 是数域 $K$ 上的赋范线性空间, $X$ 到 $Y$ 的有界线性算子全体记作 $B(X,Y)$. $\forall T_1,T_2 \in B(X, Y), \alpha \in K$. 对于 $\forall x \in X$, 规定线性运算为:

\[ \begin{aligned}
&(T_1 + T_2) (x) = T_1x + T_2x, \\
&(\alpha T)(x) = \alpha Tx
\end{aligned}
\]

易知, $(B(X,Y),||\cdot ||)$ 是赋范线性空间, 称为 有界线性算子空间.
特别, 当 $Y=K$ 时, 简记作 $B(X, K) = X^{*}$, 并称其元素为 有界线性泛函, 且 $X^{*}$ 称为 $X$ 的 共轭空间.

定义 4.4 设 $X$ 是数域 $K$ 上的赋范线性空间, 若 $X^{*} = X$, 则称 $X$ 为 自共轭空间.

定理 8 任何赋范线性空间 $(X, ||\cdot||)$ 都与 $X^{**}$ 的子空间保范线性同构, 在同构的意义下, 可记作 $X \subset X^{**}$, 即
$\forall x \in X$, 定义泛函 $F_x: X^{*} \rightarrow K$, $f \mapsto f(x)$, 即

\[F_x(f) = f(x) \;\;\text{ $x$ 固定, $\forall f \in X^{*}$ }
\]

则 $F_x \in (X^{*}) = X^{**}$，且 $||F_x|| = ||x||$.

定理 9 $n$ 维实赋范线性空间 $E_n$, 有 $(E_n)^{*} = E_n$.
设 $e_1,\cdots, e_n$ 是 $E_n$ 的一组基, 则 $\forall f \in (E_n)^{*}$, 存在唯一的 $\alpha = (\alpha_1, \cdots, \alpha_n) \in E_n$, 使得 $f$ 在 $E_n$ 上的表示为

\[f(x) = \displaystyle\sum_{k=1}^n x_k\alpha_k,\;\; \forall x \in E_n, x = \sum_{k=1}^n x_ke_k
\]

实际上, $\alpha_k = f(e_k) $ 是由 $f$ 唯一确定的. 同时, $(E_n)^{*}$ 中的泛函 $f$ 的范数 $||f|| = ||\alpha||$ 则依赖于 $E_n$ 中元素 $x$ 的范数 $||x||$ 的选取.

4.1 重要技巧

将原空间 $X$ 的问题通过嵌入映射 $\mathcal{T}$ 转换为 $X^{**}$ 中的问题, 即将 $x\in X$ 转换为 $F_x \in X^{**}$, 且 $||F_x|| = ||x||$. 而线性泛函 $F_x$ 要比抽象空间 $X$ 中的元素 $x$ 更容易处理.

匡继昌.实分析与泛函分析[M].北京:高等教育出版社.2002.8 ↩︎

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